मसावि व लसावि:-
मसावि व लसावि कसा काढायचा याबाबत नेहमी प्रश्न मनात पडतात. मसावि व लसावि म्हणजे नक्की काय? त्यांचा पूर्ण अर्थ काय असतो? सोप्यात सोपी पद्धत कोणती असू शकते? पटकन कसे शोधता येईल? या सर्व प्रश्नांचे उत्तर जाणून घेवूया
मसावि (HCF) :-
मसावि म्हणजे महत्तम साधारण विभाजक संख्या (HCF).
म- महत्तम - मोठ्यातमोठा
सा - सामाईक - दोन किंवा दोनपेक्षा अधिक संख्येत सारखा (समान) असलेला अंक
वि - विभाजक - संख्यांना पूर्ण भाग जाणारा भाजक
दिलेल्या संख्यांना ज्या मोठयात मोठया संख्येने (विभाजकाने) भाग जातो ती संख्या अथवा तो विभाजक म्हणजे त्यांचा म.सा.वि. होय.
-
मसावि हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी लहान संख्यांच असते.
-
कोणत्याही संख्यांचा मसावि काढायचा असल्यास पुढीलकाही गोष्टी लक्षात ठेवणे फार गरजेचे ठरते
-
कोणत्याही दोन क्रमाने येणाऱ्या विषम संख्यांचा मसावि हा नेहमी १ असतो.
-
कोणत्याही दोन क्रमाने येणाऱ्या सम संख्यांचा मसावि हा नेहमी २ असतो.
-
कोणत्याही दोन क्रमाने येणाऱ्या नैसर्गिक संख्यांचा मसावि हा नेहमी १ असतो.
-
जर कोणत्याही दोन संख्यांचा मसावि १ येत असेल तर त्या दोन संख्या परस्पर मूळ संख्या आहे म्हणून ओळखल्या जातात.
मसावि काढण्याच्या पद्धती :-
प्रामुख्याने मसावि काढण्यासाठी चार पद्धतींचा उपयोग केला जातो
१. विभाजाकाच्या यादी करून मसावि काढणे
२. मूळ अवयव पद्धतीने मसावि काढणे
३. भागाकार पद्धतीने मसावि काढणे
४. अपूर्णांक संख्येचा मसावि काढणे
आता आपण या पद्धती थोडक्यात समजून घेऊया.
१. विभाजकाच्या यादी करून मसावि काढणे :-
या पद्धतीमध्ये दिलेल्या संख्यांचे सर्वप्रथम विभाजक काढले जातात आणि त्या सर्व संख्यांच्या विभाजकामधून सर्वात मोठी जी विभाजक संख्या असेल ती संख्या त्या पूर्ण संख्यांचा मसावि असते.
उदा. (१) ३६ आणि ४८ चा मसावि = ?
३६ चे विभाजक = १,२,३,४,६,९,१२,१८,३६
४८ चे विभाजक = १,२,३,४,६,८,१२,१६,२४,४८
या दोन्ही संख्यांच्या विभाजकांंमधील सर्वात मोठा विभाजक १२ हा आहे.
म्हणून ३६ आणि ४८ या दोन संख्यांचा मसावि १२ आहे.
२. मूळ अवयव पद्धतीने मसावि काढणे :-
या पद्धतीने मसावि काढण्यासाठी प्रथम ज्या संख्या उदाहरणामध्ये दिलेल्या असतात त्यांचे सविस्तर पणे अवयव पडावे आणि नंतर त्या सर्व संख्यांमध्ये जे समान अवयव असतात त्या सर्व अवयवांचा गुणाकार करावा आणि आलेले उत्तर हे त्या संख्यांचा मसावि असतो.
उदा. १८, ३०, ४२ या संख्यांचा अवयव पद्धतीने मसावि काढा.
या उदाहरणामध्ये सर्वप्रथम दिलेल्या सर्व संख्यांचे आपण अवयव पाडून घेऊया.
१८ = २ × ९
= २ × ३ × ३
३० = २ × १५
= २ × ३ × ५
४२ = २ × २१
= २ × ३ × ७
वरील उदाहरणात आपण तिन्ही संख्यांचे अवयव पाडले असता त्या सर्व अवयवांमध्ये २ आणि ३ हे सारखे (common) अवयव दिसत आहे त्यामुळे आता या सारख्या अवयवांचा गुणाकार करू आणि आलेले उत्तर हे या तीनही संख्यांचा मसावि असेल.
२ × ३ = ६
म्हणून मसावि = ६
३. भागाकार पद्धतीने मसावि काढणे :-
या पद्धतीचा वापर ज्या वेळेस दिलेल्या उदाहरणामध्ये मोठी संख्या असते त्या वेळेस केला जातो.
या पद्धतीचा वापर करतेवेळी सर्वप्रथम लहान संख्यने मोठ्या संख्येला भाग द्यावा लागतो आणि नंतर पुढे जे बाकी असते त्या बााकीने दुसऱ्या भजकास भाग द्यावा लागतो ही प्रक्रिया शेवटी बाकी ० (शून्य) उरत नाही तो पर्यंत परतपरत करत राहावी लागते आणि ज्यावेळी बाकी शून्य उरते त्या त्याचा पहिलेचा भाजक हा त्या उदाहरणात दिलेल्या संख्यांचा मसावि असतो.
उदा. १२० आणि १६८ या संख्यांचा मसावि काढा
मोठ्या संख्येला लहान संख्येने भागले असता. बाकी ४८ उरते त्या बाकी ला परत पहिल्या संख्येने भागले असता बाकी २४ उरतात आता बाकी उरलेल्या २४ ला दुसऱ्या भाजकाने भागले असता बाकी ० उरते म्हणून दिलेल्या उदाहरणामध्ये १२० आणि १६८ चा मसावि २४ हा निघतो.
४. अपूर्णांक संख्येचा मसावि काढणे:-
अपूर्णांक संख्येचा मसावि काढण्यासाठी सर्वप्रथम अंशांच्या ठिकाणी असलेल्या संख्यांचा मसावि काढावा आणि छेदाच्या ठिकाणी असलेल्या संख्यांचा लसावि काढावा आणि आलेले उत्तर हे त्या अपूर्णांक संख्येंचा मसावि असतो. त्यासाठी आपण खालील सूत्र वापरू शकतो.
अंशाचा मसावि
अपूर्णांकाचा मसावि = _______________
छेदाचा लसावि
लसावि (LCM) :-
लसावि म्हणजे लघुत्तम साधारण विभाज्य संख्या (LCM)
दिलेल्या संख्यानी ज्या लहांनात लहान संख्येला पूर्ण भाग जातो ती संख्या म्हणजे त्यांचा ल.सा.वि. होय.
ल.सा.वि. हा दिलेल्या संख्यांपेक्षा नेहमी मोठी संख्यांच असते.
ल - लघुत्तम - लहानात लहान
सा - सामाईक - सारखा असणारा
वि - विभाजक - संख्यांना पूर्ण भाग जाणारा भाजक
लसावि काढतांना पुढील काही गोष्टींकडे लक्ष देणे फार महत्वाचे आहे.
-
लसावि ला उदाहरणातील सर्व संख्यांनी भाग हा जातोच.
-
जर दिलेल्या उदाहरणामध्ये दोन किंवा दिलेल्या सर्व संख्या ह्या मुळ संख्या असतील तर त्या मूळ संख्यांचा गुणाकार हा त्या संख्यांचा लसावि असतो.
उदा.:- ३ आणि ५ या संख्यांचा लसावि म्हणजे ३ × ५ = १५
-
दिलेल्या उदाहरणामध्ये दोन संख्यांपैकी एक संख्या ही दुसऱ्या संख्येची विभाज्य असे तर तीच संख्या त्या संख्यांचा लसावि असतो.
उदा.:- १५ आणि ६० या संख्यंचा लसावि = ६०
आता आपण लसावि काढण्याच्या काही पद्धती बघूया. लसावी काढण्या साठी एकूण चार पद्धतींचा उपयोग केला जातो तो पुढीलप्रमाणे
१. विभाज्य पद्धतीने लसावि काढणे
२. उभ्या अवयव पद्धतीने लसावि काढणे
३. मूळ अवयव पद्धतीने लसावि काढणे
४. अपूर्णांक संख्यांचा लसावि काढणे
आता हे सर्व प्रकार आपण एक एक करून समजून घेऊया
१. विभाज्य पद्धतीने लसावि काढणे :-
विभाज्य पद्धतीने लसावि काढतांना सर्वप्रथम उदाहरणातील मोठी संख्या घ्यावी आणि त्यासंख्येची पटीत येणाऱ्या संख्या लिहाव्या (त्या संख्येचा पाढा लिहावा) आणि नंतर दिलेल्या उदाहरणातील लहान संख्यांनी मोठ्या संखेच्या पटीत येणाऱ्या कोणत्या संख्येला भाग जातो तो अंक शोधावा तोच अंक हा त्या उदाहरणातील संख्यांचा लसावि असतो
उदा.
१६ आणि २४ या संख्यांचा लसावि काढा.
दिलेल्या उदाहरणात २४ ही मोठी संख्या आहे त्या संख्येची पट(पाढा) आपण लिहून घेऊ
२४ या संख्येची पट = २४, ४८, ७२, ९६, १२०, १४४...
आता आपण हे बघूया की २४ च्या पटीत येणाऱ्या कोणत्या लहानात लहान संख्येला उदाहरणातील इतर संख्येने भाग जातो.
इतर संख्या म्हणजे १६ आणि १६ ने ४८ या संखेला भाग जातो म्हणून या उदाहरणातील संख्यांचा लसावि ४८ आहे.
२) उभ्या अवयव पद्धतीने लसावि काढणे :-
उभ्या अवयव पद्धतीने लसावि काढताना उदाहरणात दिलेल्या सर्व संख्या या उभ्या लिहिल्या जातात आणि त्या नंतर त्या सर्व संख्यांना सोबत मुळ संख्यने भाग दिला जातो आणि ज्या संख्यांना भाग जात नसेल ती संख्या जशीच्यातशी खाली लिहिली जाते. आणि सर्व संख्यांना भाग तो पर्यंत दिला जातो जो पर्यंत शेवटी बाकी १ राहत नाही. आणि शेवटी १ उरल्यावर ज्या मूळ संख्यांनी आपण उदाहरणातील संख्यांना भाग दिला त्या सर्व मूळ संख्यांचा गुणाकार करून येणारे उत्तर हे त्या संख्यांचा लसावि असतो.
उदा. १५, २५, ४० या संख्यांचा लसावि काढा.
खाली ज्या मूळ संख्यांनी भाग दिला, त्यांचा गुणाकार करूया.
२ × २ × २ × ३ × ५ × ५ = ६००
म्हणून लसावि = ६००
३. मूळ अवयव पद्धतीने लसावि काढणे :-
लसावि किंवा मसावि काढण्याच्या सर्व पद्धतीपैकी ही पद्धत लसावि आणि मसावि काढण्यास सर्वात सोपी पद्धत आहे. या पद्धतीमध्ये उदाहरणामध्ये दिलेल्या संख्यांचा मूळ संख्यांनी अवयव पडावे आणि नंतर उदाहरणातील सर्व संख्यंचे सामाईक (समान) अवयव एक वेळा लिहावे आणि बाकी उरलेले असामाईक अवयव सुद्धा लिहून त्या सर्व संख्यांचा गुणाकार करावा. त्या संख्यांचा गुणाकार करून येणारे उत्तर हे उदाहरणातील संख्यांचा लसावि असतो.
उदाहरणार्थ (१) १५, २५, ४० चा लसावि काढा.
आता सर्व प्रथम आपण या संख्यांचे अवयव पाडून घेऊया.
१५ = ३ × ५
२५ = ५ × ५
४० = ५ × २ × २ × २
१५, २५, आणि ४० चे सामाईक अवयव = ५
१५, २५, आणि ४० चे असामाईक अवयव = ३,५,२,२,२
आता लसावि काढण्यासाठी आपण सामाईक आणि असामाईक अवयवांचा गुणाकार करू
म्हणून १५,२५ आणि ४० चा लसावि = ५ × ३ × ५ × २ × २ × २ = ६००
४. अपूर्णांक संख्यांचा लसावि काढणे:-
अपूर्णांक संख्येचा लसावि काढण्यासाठी सर्वप्रथम अंशांच्या ठिकाणी असलेल्या संख्यांचा लसावि काढावा आणि छेदाच्या ठिकाणी असलेल्या संख्यांचा मसावि काढावा आणि आलेले उत्तर हे त्या अपूर्णांक संख्येंचा लसावि असतो. त्यासाठी आपण खालील सूत्र वापरू शकतो
अंशाचा लसावि
अपूर्णांकाचा लसावि = _______________
छेदाचा मसावि
अश्या प्रकारे आपले लसावि आणि मसावि चे सर्व प्रकार आणि नियम पूर्ण झालेले आहे आता लसावि आणि मसावि काढतांना काही सूत्रे आपल्याला उपयोगात पडत असतात ते आपण आता बघूया.
लसावि आणि मसावि चे सूत्रे :-
-
पहिली संख्या X दुसरी संख्या = ल. सा. वि. X म. सा.वि
-
पहिली संख्या = मसावि X लसावि ÷ दुसरी संख्या
-
दुसरी संख्या = मसावी X लसावि ÷ पहिली संख्या
-
मसावि = पहिली संख्या X दुसरी संख्या ÷ लसावि
-
लसावि = पहिली संख्या X दुसरी संख्या ÷ मसावि
-
लसावी ÷ मसावी = असामायिक अवयवांचा गुणाकार
-
मोठी संख्या = मसावि X मोठा असामायिक अवयव
-
लहान संख्या = मसावि X लहान असमायिक अवयव
-
अपूर्णांकाचा म.सा.वि = अंशाचा म.सा.वि ÷ छेदाचा ल.सा.वि
-
अपूर्णांकाचा ल.सा.वि = अंशाचा ल.सा.वि ÷ छेदाचा म.सा.वि